11.2 Background

Ufafanuzi wengi wa mfumo zinapatikana, kuanzia maelezo huru kwa michanganyiko kali ya hisabati. Katika kile kinachofuata, mfumo unachukuliwa kuwa kitu ambacho vigezo tofauti vinaingiliana katika kila aina ya mizani ya muda na nafasi na ambayo hutoa ishara zinazoonekana. Aina hizi za mifumo pia huitwa mifumo ya wazi. Uwakilishi wa picha ya mfumo wa wazi wa jumla (S) na ishara za pembejeo za vector na pato zinawakilishwa kwenye Mchoro 11.2. Hivyo, pembejeo nyingi au matokeo huunganishwa katika mshale mmoja. Hivyo, vigezo vya mfumo vinaweza kuwa scalars au vectors. Aidha, wanaweza kuwa na kazi za kuendelea au za kutosha za wakati. Ni muhimu kusisitiza kwamba mishale katika Kielelezo. 11.2 inawakilisha mtiririko wa ishara na hivyo si lazima mtiririko wa kimwili.

Inawezekana pia kuunganisha mifumo kwenye mtandao, kama katika mfumo wa AP, na sambamba, maoni na njia za kulisha. Kielelezo 11.3 inatoa mfano wa mtandao huo.

Kwa uchambuzi wa mtawala/usimamizi na awali, mara nyingi ni rahisi kuunganisha mfumo (S) kwa mkakati wa mtawala au usimamizi (C), kama ilivyo kwenye Mchoro 11.4. Mara nyingi pembejeo kwa mkakati wa mtawala au usimamizi ni ishara ya uendeshaji wa nje ya mfumo uliodhibitiwa, na pato la mfumo ni tabia ya mfumo uliozingatiwa.

Tini. 11.2 Uwakilishi wa mfumo wa wazi

Tini. 11.3 Fungua uwakilishi wa mtandao wa mfumo

Tini. 11.4 Mfumo wa kudhibitiwa

mtini. 11.5 Mfano makao mfumo kudhibitiwa

Hatimaye, ili kusisitiza kuingizwa kwa mfano wa hisabati (M) katika muundo wa mtawala au mkakati wa usimamizi, uwakilishi wa mfumo wa kudhibitiwa unaofuata unaletwa (Mchoro 11.5).

Kwa sasa, inatosha kuwasilisha uwakilishi wa mchoro wa kuzuia. Katika sehemu zifuatazo, mfano wa mifumo ya AP utafanyika kwa undani zaidi.

Katika nadharia ya mifumo muundo wa msingi wa mfano wa hisabati (M) ni schematically kuwakilishwa kama katika Mtini. Katika Mtini. 11.6, x ni kinachojulikana hali ya mfumo, u pembejeo ya kudhibiti, y pato, w pembejeo ya usumbufu na v kelele ya pato. Kwa ujumla, kila moja ya vigezo hivi ni vector yenye thamani.

Tini. 11.6 muundo wa msingi wa mfano wa hisabati (M)

Kwa wakati unaoendelea, seti inayofuata ya equations inaelezea mfano wa kawaida wa nguvu (M), na parameter vector p, katika kile kinachoitwa fomu ya hali ya nafasi:

$\ frac {dx (t)} {dt} =f (t, x (t), u (t), w (t); p),\ x (0) =x_0$ (11.1)

$ y (t) =g (t, x (t), u (t); p) +v (t),\ t\ in\ Re^+$ (11.1)

ambapo equation ya kwanza inaelezea mienendo isiyo ya kawaida na ya muda ya mfumo kwa suala la vigezo vya hali (x) na ya pili inaonyesha uhusiano wa algebraic kati ya u, x na y. Uwakilishi huu wa hali ya nafasi imekuwa mwanzo wa utekelezaji wa programu nyingi za kubuni, udhibiti na ukadiriaji. Katika kile kinachofuata, hata hivyo, mifano tu ya kuamua, hivyo bila vectors stochastic v na w, huchukuliwa. Hebu kuonyesha nadharia hii juu ya mfumo samaki tank.

Mfano: Samaki Tank System

Fikiria tank ya samaki ifuatayo, ambayo ni mfano wa kawaida wa mfumo wa jumla uliowasilishwa kwenye Mchoro 11.7.

Hebu tuanze na kubainisha ujuzi wetu kabla ya mifumo ya ndani ya mfumo. Uwiano wa wingi wafuatayo unaweza kuelezwa kwa suala la kiasi cha tank ya kuhifadhi (V), pia huitwa hali ya mfumo, mapato _u (t) _ na outflows _y (t) _:

$\ frac {dV (t)} {dt} =u (t) -y (t) $ (11.2)

Tuseme kuna mtawala wa ngazi (LC) ambayo inaendelea outflow sawia na kiasi katika tank. Hii inaweza kutekelezwa kwa kutekeleza sheria inayofuata ya udhibiti wa sawia,

$ Y (t) =KV (t) $ (11.3)

na K halisi, chanya mara kwa mara. Kwa hiyo, baada ya kubadili Eq. (11.3) ndani ya (11.2), tunapata usawa wafuatayo

$\ frac {dV (t)} {dt} +KV (t) =n (t) $ (11.4)

Mtini. 11.7 Samaki tank na mtiririko kiasi kudhibitiwa kwa kutumia kiwango cha mtawala (LC)

Kwa usawa huu wa kutofautiana wa mstari na coefficients ya mara kwa mara, suluhisho la uchambuzi lipo na linatolewa na

$ y (t) =y (0) e^ {-Kt} +\ Int^t_0KE^ {-K (t-s)} u (s) ds$ (11.5)

chini ya dhana kwamba u (t) = 0 kwa t\ 0. Kutokana na mfano huu ni wazi kwamba kutumia kanuni za kwanza - uhifadhi wa wingi katika kesi hii - moja kwa moja husababisha usawa wa kawaida wa tofauti. Katika muundo wa hali ya hali, mfano unaweza kuwakilishwa kama

$\ frac {dx (t)} {dt} =-Kx (t) +u (t) $ (11.6)

$\ y (t) =Kx (t) $ (11.6)

Kwa kiasi cha $x$, pembejeo ya mtiririko wa $u $ na faida ya mtawala wa $K $. Hivyo, kwa upande wa hali ya jumla ya nafasi Eq. (11.1), $f (t, x (t), u (t); p)\ equiv -Kx (t) + u (t) $ na $g (t, x (t), u (t); p)\ equiv Kx (t) $.

Kwa mbili kiasi kudhibitiwa mizinga samaki katika mfululizo na kiasi V<sub1/sub na Vsub2/sub, na mtawala kupata Ksub1/Sub na Ksub2/sub, kwa mtiririko huo, mbili mizani molekuli inaweza kuwa yaliyoandaliwa, yaani.

$\ frac {DV_1 (t)} {dt} =-K_1V_1 (t) +u (t) $ (11.7)

$\ frac {DV_2 (t)} {dt} =K_1V_1 (t) -K_2V_2 (t) $ (11.7)

Katika fomu ya vector-matrix, na kwa outflow ya kimwili y (t), tunaweza kuandika:

$\ frac {d} {dt}\ kuanza {bmatrix} V_1 (t)\ V_2 (t)\ mwisho {bmatrix} =\ kuanza {bmatrix} -K_1 & 0\ K_1 & -K_2\ mwisho {bmatrix}\ kuanza {bmatrix} V_1 (t)\ mwisho {bmatrix} kuanza {bmatrix} 1\ 0\ mwisho {bmatrix} u (t) $ (11.8)

$ y (t) =K_2V_2 (t) $ (11.8)

Na hivyo, na $X_1=V_1, X_2=v_2:F (t, x (t), u (t); p)\ equiv\ kuanza {bmatrix} -K_1x_1 (t) +u (t)\ k_1x_1 (t) -K_2x_2 (t)\ mwisho {bmatrix} $ na $g, x (t), u (t); p)\ equiv K_2x_2 (t) $.

Katika sehemu zifuatazo, kila mfumo wa mfumo wa AP (Mchoro 11.1) utaelezwa kwa undani zaidi.