11.2 Справочная информация

Имеется множество определений системы, начиная от неполных описаний и заканчивая строгими математическими формулировками. Таким образом, система рассматривается как объект, в котором различные переменные взаимодействуют во всех видах временных и пространственных масштабах и который производит наблюдаемые сигналы. Эти типы систем также называются открытыми системами. Графическое представление общей открытой системы (S) с векторными входными и выходными сигналами представлено на рис. 11.2. Таким образом, несколько входов или выходов объединяются в одну стрелку. Таким образом, системные переменные могут быть скалярами или векторами. Кроме того, они могут быть непрерывными или дискретными функциями времени. Важно подчеркнуть, что стрелки на рис. 11.2 представляют собой потоки сигналов и, следовательно, не обязательно физические потоки.

Также возможно подключение систем к сети, как в системе AP, с параллельными, обратными и обратными путями. Пример такой сети представлен на рис. 11.3.

Для анализа и синтеза контроллера/управления часто удобно подключить систему (S) к контроллеру или стратегии управления (C), как показано на рис. 11.4. Чаще всего входным сигналом контроллера или стратегии управления является внешний сигнал рулевого управления управляемой системы, а выходным сигналом системы является поведение наблюдаемой системы.

Рис. 11.2 Общее представление открытой системы

Рис. 11.3 Представление сети открытой системы

Рис. 11.4 Контролируемая система

Рис. 11.5 Контролируемая система на основе модели

Наконец, чтобы подчеркнуть включение математической модели (M) в структуру контроллера или стратегию управления, представлено следующее представление управляемой системы на основе модели (рис. 11.5).

На данный момент достаточно представить представление блок-схемы. В последующих разделах будет более подробно проработано моделирование систем ЗС.

В теории систем базовая структура математической модели (M) схематически представлена, как показано на рис. 11.6. На рис. 11.6 x — так называемое состояние системы, u — вход управления, y — выход, w — вход возмущения и v — выходной шум. В общем, каждая из этих переменных является векторно-значным.

Рис. 11.6 Базовая структура математической модели (М)

В непрерывное время следующий набор уравнений описывает общую динамическую модель (M), с параметром вектор p, в так называемой форме пространства состояний:

$\ гидроразрыва {dx (t)} {dt} =f (t, x (t), u (t), w (t); p),\\ x (0) =x_0$ (11.1)

$y (t) =g (t, x (t), u (t); p) +v (t),\\ t\ in\ Re^+$ (11.1)

где первое уравнение описывает нелинейную и изменяющуюся по времени динамику системы в терминах переменных состояний (x), а второе — алгебраическую связь между u, x и y. Это представление модели пространства состояний является отправной точкой для многих программных реализаций для проектирования, управления и оценки. Однако в следующем рассматриваются только детерминированные модели, при этом без стохастических векторов v и w. Давайте проиллюстрируем эту теорию на системе аквариума.

**Пример: Система Fish Tank **

Рассмотрим следующий аквариум, который является типичным примером общей системы, представленной на рис. 11.7.

Начнем с уточнения наших предварительных знаний о внутренних механизмах системы. Следующий баланс массы может быть определен с точки зрения объема резервуара хранения (V), также называемого состоянием системы, притока _u (t) _ и оттока _y (t) _:

$\ гидроразрыва {dV (t)} {dt} =u (t) -y (t) $ (11.2)

Предположим, что есть регулятор уровня (LC), который сохраняет отток пропорционально объему в резервуаре. Это может быть обеспечено путем применения следующего закона о пропорциональном контроле,

$Y (t) = KV (t) $ (11,3)

с K реальной положительной константой. Таким образом, после замены экв. (11.3) в (11.2), мы получаем следующее дифференциальное уравнение

$\ гидроразрыва {dV (t)} {dt} +KV (t) =n (t) $ (11.4)

Рис. 11.7 Аквариум для рыб с регулируемым объемным потоком с использованием регулятора уровня (LC)

Для данного конкретного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует аналитическое решение, которое задается

$y (t) =y (0) e^ {-Kt} +\ Int^t_0ke^ {-K (t-s)} u (s) ds$ (11,5)

при предположении, что u (t) = 0 для t\ 0. Из этого примера ясно, что применение первых принципов — сохранение массы в данном случае — непосредственно приводит к обычному дифференциальному уравнению. В формате пространства состояний модель может быть представлена как

$\ гидроразрыва {dx (t)} {dt} =-Kx (t) +u (t) $ (11,6)

$\ у (т) =Kx (т) $ (11,6)

С $x$ объем, $u$ вход потока и $K$ усиления контроллера. Таким образом, в терминах общего пространства состояний экв. (11.1), $f (t, x (t), u (t); p)\ equiv -Kx (t) + u (t) $ и $g (t, x (t), u (t); p)\ equiv Kx (t) $.

Для двух резервуаров для рыб с регулируемым объемом V<sub1/sub и Vsub2/sub и регулятором усиления Ksub1/sub и Ksub2/sub, соответственно, могут быть составлены два баланса массы, т.е.

$\ гидроразрыва {dv_1 (t)} {dt} =-K_1V_1 (t) +u (t) $ (11.7)

$\ гидроразрыва {dv_2 (t)} {dt} =K_1V_1 (t) -K_2V_2 (t) $ (11.7)

В векторно-матричной форме, и для физического оттока y (t), мы можем написать:

$\ гидроразрыва {d} {dt}\ начало {bmatrix} V_1 (t)\ V_2 (t)\ конец {bmatrix} =\ начало {bmatrix} -K_1 & 0\\ K_1 & -K_2\ конец {bmatrix}\ начало {bmatrix} V_1 (t)\ V_2 (t)\ конец {bmatrix} 1\ 0\ конец {bmatrix} u (t) $ (11.8)

$y (t) =K_2V_2 (t) $ (11,8)

И таким образом, с $x_1=V_1, x_2=V_2:F (t, x (t), u (t); p)\ equiv\ bmatrix} -k_1x_1 (t) +u (t)\ k_1x_1 (t) -k_2x_2 (t)\ end {bmatrix} $ и $g (t, x (t, x (t), u (t); p)\ equiv k_2x_2 (t) $.

В следующих разделах каждая из подсистем системы AP (рис. 11.1) будет описана более подробно.