11.2 Fundo

Muitas definições de um sistema estão disponíveis, variando de descrições soltas a formulações matemáticas rigorosas. No que se segue, um sistema é considerado um objeto no qual diferentes variáveis interagem em todos os tipos de escalas de tempo e espaço e que produz sinais observáveis. Esses tipos de sistemas também são chamados de sistemas abertos. Uma representação gráfica de um sistema aberto geral (S) com sinais de entrada e saída com valor vetorial é representada na Fig. 11.2. Assim, várias entradas ou saídas são combinadas em uma única seta. Assim, as variáveis do sistema podem ser escalares ou vetores. Além disso, eles podem ser funções contínuas ou discretas do tempo. É importante ressaltar que as setas na Fig. 11.2 representam fluxos de sinal e, portanto, não necessariamente fluxos físicos.

Também é possível conectar sistemas a uma rede, como em um sistema AP, com caminhos paralelos, feedback e feedforward. A Figura 11.3 apresenta um exemplo dessa rede.

Para análise e síntese de controlador/gerenciamento, muitas vezes é conveniente conectar o sistema (S) ao controlador ou estratégia de gerenciamento (C), como na Fig. 11.4. Na maioria das vezes, a entrada para o controlador ou estratégia de gestão é o sinal de direção externo do sistema controlado, e a saída do sistema é o comportamento do sistema observado.

Fig. 11.2 Representação geral do sistema aberto

Fig. 11.3 Representação de rede de sistema aberto

Fig. 11.4 Sistema controlado

Fig. 11.5 Sistema controlado baseado em modelo

Finalmente, para enfatizar a incorporação de um modelo matemático (M) na estrutura do controlador ou estratégia de gerenciamento, a seguinte representação do sistema controlado baseado em modelo é introduzida (Fig. 11.5).

Por enquanto, basta apresentar a representação do diagrama de blocos. Nas seções subsequentes, a modelagem de sistemas AP será elaborada com mais detalhes.

Na teoria dos sistemas, a estrutura básica de um modelo matemático (M) é representada esquematicamente como na Fig. 11.6. Na Fig. 11.6, x é o chamado estado do sistema, u a entrada de controle, y a saída, w a entrada de perturbação e v o ruído de saída. Em geral, cada uma dessas variáveis tem valor vetorial.

Fig. 11.6 Estrutura básica do modelo matemático (M)

Em tempo contínuo, o seguinte conjunto de equações descreve um modelo dinâmico geral (M), com vetor de parâmetro p, no que é chamado de forma de espaço de estado:

$\ frac {dx (t)} {dt} =f (t, x (t), u (t), w (t); p),\\ x (0) =x_0 $ (11.1)

$y (t) =g (t, x (t), u (t); p) +v (t),\ t\ em\ Re^+$ (11.1)

onde a primeira equação descreve a dinâmica não-linear e variável no tempo do sistema em termos de variáveis de estado (x) e a segunda expressa a relação algébrica entre u, x e y. Esta representação de modelo de estado espacial tem sido um ponto de partida para muitas implementações de software para design, controle e estimativa. No que se segue, no entanto, apenas modelos determinísticos, portanto sem os vetores estocásticos v e w, são considerados. Vamos ilustrar esta teoria sobre um sistema de tanques de peixes.

**Exemplo: Sistema de Tanques de Peixe

Considere o seguinte aquário, que é um exemplo típico do sistema geral apresentado na Fig. 11.7.

Vamos começar com a especificação do nosso conhecimento prévio dos mecanismos internos do sistema. O seguinte balanço de massa pode ser definido em termos do volume do tanque de armazenamento (V), também chamado de estado do sistema, entradas _u (t) _ e saídas _y (t) _:

$\ frac {dV (t)} {dt} =u (t) -y (t) $ (11.2)

Suponha que haja um controlador de nível (LC) que mantenha a saída proporcional ao volume no tanque. Isso pode ser aplicado através da implementação da seguinte lei de controle proporcional,

$Y (t) =KV (t) $ (11.3)

com K uma constante real e positiva. Assim, após substituir Eq. (11.3) em (11.2), obtém-se a seguinte equação diferencial

$\ frac {dV (t)} {dt} +KV (t) =n (t) $ (11.4)

Fig. 11.7 Tanque de peixes com fluxo controlado por volume usando controlador de nível (LC)

Para esta equação diferencial linear específica com coeficientes constantes, existe uma solução analítica e é dada por

$y (t) =y (0) e^ {-Kt} +\ int^t_0ke^ {-K (t-s)} u (s) ds$ (11.5)

sob a suposição de que u (t) = 0 para t\ 0. A partir deste exemplo, é claro que a aplicação dos primeiros princípios — a conservação da massa neste caso — conduz diretamente a uma equação diferencial ordinária. No formato de espaço de estado, o modelo pode ser representado como

$\ frac {dx (t)} {dt} =-Kx (t) +u (t) $ (11.6)

$\ y (t) =Kx (t) $ (11.6)

Com $x$ volume, $u$ entrada de fluxo e $K$ ganho de controlador. Assim, em termos do Eq. (11.1), $f (t, x (t), u (t); p)\ equiv -Kx (t) + u (t) $ e $g (t), u (t); p)\ equiv Kx (t) $.

Para dois tanques de peixes controlados por volume em série com volume V<sub1/sub e VSub2/sub, e ganho de controlador KSub1/sub e KSub2/sub, respectivamente, podem ser formulados dois balanços de massa, ou seja

$\ frac {dv_1 (t)} {dt} =-K_1V_1 (t) +u (t) $ (11.7)

$\ frac {dv_2 (t)} {dt} =K_1V_1 (t) -K_2V_2 (t) $ (11.7)

Na forma de matriz vetorial, e para a saída física y (t), podemos escrever:

$\ frac {d} {dt}\ begin {bmatrix} V_1 (t)\ V_2 (t)\ end {bmatrix} =\ begin {bmatrix} -K_1 & 0\ K_1 & -K_2\ end {bmatrix}\ begin {bmatrix} V_1 (t)\\ V_2 (t)\ end {bmatrix} bmatrix} 1\ 0\ end {bmatrix} u (t) $ (11.8)

$y (t) =K_2V_2 (t) $ (11,8)

E assim, com $x_1=v_1, x_2=v_2:f (t, x (t), u (t); p)\ equiv\ begin {bmatrix} -k_1x_1 (t) +u (t)\ K_1x_1 (t) -k_2x_2 (t)\ end {bmatrix} $ e $g (t, (t), u (t); p)\ equiv K_2x_2 (t) $.

Nas próximas seções, cada um dos subsistemas do sistema AP (Fig. 11.1) será descrito com mais detalhes.