11.2 Sfondo

Sono disponibili molte definizioni di un sistema, che vanno da descrizioni sciolte a formulazioni matematiche rigorose. In quanto segue, un sistema è considerato un oggetto in cui diverse variabili interagiscono a tutti i tipi di scale spaziali e temporali e produce segnali osservabili. Questi tipi di sistemi sono anche chiamati sistemi aperti. Una rappresentazione grafica di un sistema aperto generale (S) con segnali di ingresso e uscita a valori vettoriali è rappresentata in Fig. 11.2. Pertanto, più ingressi o uscite sono combinati in un’unica freccia. Quindi, le variabili di sistema possono essere scalari o vettori. Inoltre, possono essere funzioni continue o discrete del tempo. È importante sottolineare che le frecce in Fig. 11.2 rappresentano flussi di segnale e quindi non necessariamente flussi fisici.

È anche possibile collegare i sistemi in una rete, come in un sistema AP, con percorsi paralleli, feedback e feedforward. La Figura 11.3 presenta un esempio di tale rete.

Per l’analisi di controller/gestione e la sintesi, è spesso conveniente collegare il sistema (S) al controller o alla strategia di gestione (C), come in Fig. 11.4. Molto spesso l’ingresso al controller o alla strategia di gestione è il segnale di sterzo esterno del sistema controllato, e l’uscita del sistema è il comportamento del sistema osservato.

Fig. 11.2 Rappresentazione generale del sistema aperto

Fig. 11.3 Rappresentazione della rete di sistema aperto

Fig. 11.4 Sistema controllato

Fig. 11.5 Sistema controllato basato su modelli

Infine, per enfatizzare l’incorporazione di un modello matematico (M) nella struttura del controller o nella strategia di gestione, viene introdotta la seguente rappresentazione del sistema controllato basata su modello (Fig. 11.5).

Per ora, è sufficiente presentare la rappresentazione del diagramma a blocchi. Nelle sezioni successive, la modellazione dei sistemi AP sarà elaborata in modo più dettagliato.

Nella teoria dei sistemi la struttura di base di un modello matematico (M) è schematicamente rappresentata come in Fig. 11.6. In Fig. 11.6, x è il cosiddetto stato del sistema, u l’ingresso di controllo, y l’uscita, w l’ingresso disturbo e v il rumore di uscita. In generale, ognuna di queste variabili è vettoriale.

Fig. 11.6 Struttura di base del modello matematico (M)

Nel tempo continuo, il seguente insieme di equazioni descrive un modello dinamico generale (M), con parametro vettore p, in quella che viene chiamata forma stato-spazio:

$\ frac {dx (t)} {dt} =f (t, x (t), u (t), w (t); p),\\ x (0) =x_0 $ (11.1)

$y (t) =g (t, x (t), u (t); p) +v (t),\\ t\ in\ Re^+$ (11.1)

dove la prima equazione descrive le dinamiche non lineari e temporali del sistema in termini di variabili di stato (x) e la seconda esprime la relazione algebrica tra u, x e y. Questa rappresentazione del modello stato-spazio è stata un punto di partenza per molte implementazioni software per la progettazione, il controllo e la stima. In quanto segue, tuttavia, vengono presi in considerazione solo i modelli deterministici, quindi senza i vettori stocastici v e w. Illustriamo questa teoria su un sistema acquario.

Esempio: sistema acquario

Si consideri il seguente acquario, che è un tipico esempio del sistema generale presentato in Fig. 11.7.

Iniziamo specificando la nostra conoscenza preventiva dei meccanismi interni del sistema. Il seguente bilancio di massa può essere definito in termini di volume del serbatoio di stoccaggio (V), detto anche stato del sistema, afflussi _u (t) _ e deflussi _y (t) _:

$\ frac {dV (t)} {dt} =u (t) -y (t) $ (11.2)

Supponiamo che ci sia un regolatore di livello (LC) che mantiene il deflusso proporzionale al volume nel serbatoio. Ciò può essere applicato applicando la seguente legge di controllo proporzionale,

$Y (t) =KV (t) $ (11.3)

con K una costante reale e positiva. Quindi, dopo aver sostituito Eq. (11.3) in (11.2), otteniamo la seguente equazione differenziale

$\ frac {dV (t)} {dt} +KV (t) =n (t) $ (11.4)

Fig. 11.7 Serbatoio per pesci con portata controllata dal volume tramite regolatore di livello (LC)

Per questa specifica equazione differenziale lineare con coefficienti costanti esiste una soluzione analitica che è data da

$y (t) =y (0) e^ {-Kt} +\ int^t_0ke^ {-K (t-s)} u (s) ds$ (11.5)

sotto il presupposto che u (t) = 0 per t\ 0. Da questo esempio è chiaro che l’applicazione dei primi principi — la conservazione di massa in questo caso — porta direttamente a un’equazione differenziale ordinaria. Nel formato stato-spazio, il modello può essere rappresentato come

$\ frac {dx (t)} {dt} =-Kx (t) +u (t) $ (11.6)

$\ y (t) =Kx (t) $ (11.6)

Con $ x $ volume, $ u$ flusso input e $ K$ guadagno controller. Così, in termini di stato generale spazio Eq. (11.1), $f (t, x (t), u (t); p)\ equiv -Kx (t) + u (t) $ e $ g (t, x (t), u (t); p)\ equiv Kx (t) $.

Per due acquari a controllo volume in serie con volume V<sub1/sub e VSub2/sub, e guadagno di controllo KSub1/sub e Ksub2/sub, rispettivamente, è possibile formulare due bilance di massa, ad es.

$\ frac {dv_1 (t)} {dt} =-K_1V_1 (t) +u (t) $ (11.7)

$\ frac {dv_2 (t)} {dt} =K_1V_1 (t) -K_2V_2 (t) $ (11.7)

In forma di matrice vettoriale, e per il deflusso fisico y (t), possiamo scrivere:

$\ frac {d} {dt}\ begin {bmatrix} V_1 (t)\ V_2 (t)\ end {bmatrix} =\ begin {bmatrix} -K_1 & 0\ K_1 & -K_2\ end {bmatrix}\ begin {bmatrix} V_1 (t)\ V_2 (t)\ end {bmatrix} +\ begin {bmatrix} bmatrix} 1\ 0\ end {bmatrix} u (t) $ (11.8)

$y (t) =K_2V_2 (t) $ (11.8)

E quindi, con $x_1=v_1, x_2=v_2:f (t, x (t), u (t); p)\ equiv\ begin {bmatrix} -k_1x_1 (t) +u (t)\ k_1x_1 (t) -k_2x_2 (t)\ end {bmatrix} $ e $g (t, x (t), u (t); p)\ equiv K_2x_2 (t) $.

Nelle sezioni successive, ciascuno dei sottosistemi del sistema AP (Fig. 11.1) sarà descritto in modo più dettagliato.