11.2 Contexte

De nombreuses définitions d’un système sont disponibles, allant de descriptions vagues à des formulations mathématiques strictes. Dans ce qui suit, un système est considéré comme un objet dans lequel différentes variables interagissent à toutes sortes d’échelles temporelles et spatiales et qui produit des signaux observables. Ces types de systèmes sont également appelés systèmes ouverts. Une représentation graphique d’un système ouvert général (S) avec des signaux d’entrée et de sortie à valeur vectorielle est représentée à la figure 11.2. Ainsi, plusieurs entrées ou sorties sont combinées en une seule flèche. Ainsi, les variables système peuvent être scalaires ou vecteurs. En outre, ils peuvent être des fonctions continues ou discrètes du temps. Il est important de souligner que les flèches de la figure 11.2 représentent des flux de signaux et donc pas nécessairement des flux physiques.

Il est également possible de connecter des systèmes à un réseau, comme dans un système AP, avec des chemins parallèles, de retour d’information et de feedforward. La figure 11.3 présente un exemple de ce réseau.

Pour l’analyse et la synthèse du contrôleur/de la gestion, il est souvent pratique de connecter le système (S) au contrôleur ou à la stratégie de gestion (C), comme dans la figure 11.4. Le plus souvent, l’entrée du contrôleur ou de la stratégie de gestion est le signal de direction externe du système contrôlé, et la sortie du système est le comportement observé du système.

Fig. 11.2 Représentation générale du système ouvert

Fig. 11.3 Représentation du réseau à système ouvert

Fig. 11.4 Système contrôlé

Fig. 11.5 Système contrôlé basé sur un modèle

Enfin, pour mettre l’accent sur l’incorporation d’un modèle mathématique (M) dans la structure du contrôleur ou la stratégie de gestion, la représentation du système contrôlé basée sur le modèle suivant est introduite (figure 11.5).

Pour l’instant, il suffit de présenter la représentation du diagramme de blocs. Dans les sections suivantes, la modélisation des systèmes PA sera élaborée plus en détail.

En théorie des systèmes, la structure de base d’un modèle mathématique (M) est représentée schématiquement comme dans la figure 11.6. Dans la Fig. 11.6, x est l’état dit du système, u l’entrée de contrôle, y la sortie, w l’entrée de perturbation et v le bruit de sortie. En général, chacune de ces variables a une valeur vectorielle.

Fig. 11.6 Structure de base du modèle mathématique (M)

En temps continu, l’ensemble d’équations suivant décrit un modèle dynamique général (M), avec le paramètre vecteur p, sous la forme d’espace d’état :

$ \ frac {dx (t)} {dt} =f (t, x (t), u (t), w (t) ; p), \ \ \ x (0) =x_0$ (11.1)

$y (t) =g (t, x (t), u (t) ; p) +v (t), \ \ \ t \ dans \ Re^+$ (11.1)

où la première équation décrit la dynamique non linéaire et temporelle du système en termes de variables d’état (x) et la seconde exprime la relation algébrique entre u, x et y. Cette représentation de modèle d’espace d’état a été le point de départ de nombreuses implémentations logicielles pour la conception, le contrôle et l’estimation. Dans ce qui suit, cependant, seuls les modèles déterministes, donc sans les vecteurs stochastiques v et w, sont considérés. Illustrons cette théorie sur un système de bassins à poissons.

**Exemple : système de réservoir de poissons

Considérez le réservoir de poissons suivant, qui est un exemple typique du système général présenté à la figure 11.7.

Commençons par préciser notre connaissance préalable des mécanismes internes du système. Le bilan massique suivant peut être défini en fonction du volume du réservoir de stockage (V), également appelé état du système, entrées _u (t) _ et sorties _y (t) _ :

$ \ frac {dV (t)} {dt} =u (t) -y (t) $ (11.2)

Supposons qu’il existe un contrôleur de niveau (LC) qui maintient le débit de sortie proportionnel au volume dans le réservoir. Cela peut être appliqué en appliquant la loi sur le contrôle proportionnel ci - après,

$Y (t) =KV (t) $ (11,3)

avec K une constante réelle et positive. Par conséquent, après avoir substitué Eq. (11.3) en (11.2), nous obtenons l’équation différentielle suivante

$ \ frac {dV (t)} {dt} +KV (t) =n (t) $ (11.4)

Fig. 11.7 Réservoir à poissons avec débit contrôlé par volume à l’aide d’un régulateur de niveau (LC)

Pour cette équation différentielle linéaire spécifique avec des coefficients constants, une solution analytique existe et est donnée par

$y (t) =y (0) e^ {-Kt} + \ int^t_0ke^ {-K (t-s)} u (s) ds$ (11.5)

en supposant que u (t) = 0 pour t \ 0. Il ressort clairement de cet exemple que l’application des premiers principes — la conservation de masse dans ce cas — conduit directement à une équation différentielle ordinaire. Dans un format d’espace d’état, le modèle peut être représenté comme

$ \ frac {dx (t)} {dt} =-Kx (t) +u (t) $ (11.6)

$ \ y (t) =Kx (t) $ (11.6)

Avec $x$ volume, $u$ flux entrée et $K$ gain contrôleur. Ainsi, en termes de l’Eq. (11.1), $f (t, x (t), u (t) ; p) \ equiv -Kx (t) + u (t) $ et $g (t, x (t), u (t) ; p) \ equiv Kx (t) $.

Pour deux bassins à poissons à volume contrôlé en série avec des volumes V<sub1/sub et Vsub2/sub, et un gain de contrôleur KSub1/sub et KSub2/sub, respectivement, deux bilans massiques peuvent être formulés, c’est-à-dire

$ \ frac {dv_1 (t)} {dt} =-K_1V_1 (t) +u (t) $ (11.7)

$ \ frac {dv_2 (t)} {dt} =K_1V_1 (t) -K_2V_2 (t) $ (11.7)

Sous forme de matrice vectorielle, et pour la sortie physique y (t), nous pouvons écrire :

$ \ frac {d} {dt} \ begin {bmatrix} V_1 (t) \ \ V_2 (t) \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -K_1 & 0 \ \ K_1 & -K_2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} V_1 (t) \ \ V_2 (t) \ end {bmatrix} + \ begin bmatrix} 1 \ \ 0 \ end {bmatrix} u (t) $ (11.8)

$y (t) =K_2V_2 (t) $ (11,8)

Et ainsi, avec $x_1=v_1, x_2=v_2:F (t, x (t), u (t) ; p) \ equiv \ begin {bmatrix} -K_1x_1 (t) +u (t) \ \ K_1x_1 (t) -K_2x_2 (t) \ end {bmatrix} $ et $g (t, x (t) t), u (t) ; p) \ equiv K_2x_2 (t) $.

Dans les sections suivantes, chacun des sous-systèmes du système AP (figure 11.1) sera décrit plus en détail.