11.2 Antecedentes

Hay muchas definiciones de un sistema disponibles, que van desde descripciones sueltas hasta formulaciones matemáticas estrictas. En lo que sigue, un sistema es considerado como un objeto en el que diferentes variables interactúan en todo tipo de escalas de tiempo y espacio y que produce señales observables. Estos tipos de sistemas también se llaman sistemas abiertos. En la Fig. 11.2 se representa una representación gráfica de un sistema abierto general (S) con señales de entrada y salida valoradas por vectores. Por lo tanto, múltiples entradas o salidas se combinan en una sola flecha. Por lo tanto, las variables del sistema pueden ser escalares o vectores. Además, pueden ser funciones continuas o discretas del tiempo. Es importante destacar que las flechas de la Fig. 11.2 representan flujos de señal y, por lo tanto, no necesariamente flujos físicos.

También es posible conectar sistemas a una red, como en un sistema AP, con rutas paralelas, de retroalimentación y de avance. La figura 11.3 presenta un ejemplo de esa red.

Para el análisis y síntesis del controlador/gestión, a menudo es conveniente conectar el sistema (S) al controlador o estrategia de gestión (C), como en la Fig. 11.4. En la mayoría de los casos, la entrada al controlador o la estrategia de gestión es la señal de dirección externa del sistema controlado, y la salida del sistema es el comportamiento del sistema observado.

Fig. 11.2 Representación general del sistema abierto

Fig. 11.3 Representación de red de sistema abierto

Fig. 11.4 Sistema controlado

Fig. 11.5 Sistema controlado basado en modelos

Finalmente, para enfatizar la incorporación de un modelo matemático (M) en la estructura del controlador o estrategia de gestión, se introduce la siguiente representación del sistema controlado basado en modelos (Fig. 11.5).

Por ahora, basta con presentar la representación del diagrama de bloques. En las secciones siguientes, la modelización de los sistemas AP se analizará con más detalle.

En la teoría de sistemas la estructura básica de un modelo matemático (M) se representa esquemáticamente como en la Fig. 11.6. En la Fig. 11.6, x es el llamado estado del sistema, u la entrada de control, y la salida, w la entrada de perturbación y v el ruido de salida. En general, cada una de estas variables tiene un valor vectorial.

Fig. 11.6 Estructura básica del modelo matemático (M)

En tiempo continuo, el siguiente conjunto de ecuaciones describe un modelo dinámico general (M), con parámetro vector p, en lo que se denomina forma estado-espacio:

$\ frac {dx (t)} {dt} =f (t, x (t), u (t), w (t); p),\\ x (0) =x_0$ (11.1)

$y (t) =g (t, x (t), u (t); p) +v (t),\\ t\ en\ Re^+$ (11.1)

donde la primera ecuación describe la dinámica no lineal y variable de tiempo del sistema en términos de variables de estado (x) y la segunda expresa la relación algebraica entre u, x y y. Esta representación del modelo estado-espacio ha sido un punto de partida para muchas implementaciones de software para diseño, control y estimación. En lo que sigue, sin embargo, sólo se consideran modelos deterministas, por lo tanto sin los vectores estocásticos v y w. Vamos a ilustrar esta teoría en un sistema de peceras.

Ejemplo: sistema de peces

Considere la siguiente pecera, que es un ejemplo típico del sistema general presentado en la Fig. 11.7.

Comencemos especificando nuestro conocimiento previo de los mecanismos internos del sistema. El siguiente balance de masas se puede definir en términos del volumen del tanque de almacenamiento (V), también denominado estado del sistema, entradas _u (t) _ y salidas _y (t) _:

$\ frac {dV (t)} {dt} =u (t) -y (t) $ (11.2)

Supongamos que hay un controlador de nivel (LC) que mantiene el flujo de salida proporcional al volumen en el tanque. Esto se puede hacer cumplir aplicando la siguiente ley de control proporcional,

$Y (t) =KV (t) $ (11.3)

con K una constante real y positiva. Por lo tanto, después de sustituir la Eq. (11.3) en (11.2), obtenemos la siguiente ecuación diferencial

$\ frac {dV (t)} {dt} +KV (t) =n (t) $ (11.4)

Fig. 11.7 Tanque de peces con flujo controlado por volumen usando controlador de nivel (LC)

Para esta ecuación diferencial lineal específica con coeficientes constantes, existe una solución analítica y está dada por

$y (t) =y (0) e^ {-Kt} +\ int^t_0ke^ {-K (t-s)} u (s) ds$ (11.5)

bajo el supuesto de que u (t) = 0 para t\ 0. A partir de este ejemplo, queda claro que la aplicación de los primeros principios — la conservación de masas en este caso — conduce directamente a una ecuación diferencial ordinaria. En formato de espacio de estado, el modelo se puede representar como

$\ frac {dx (t)} {dt} =-Kx (t) +u (t) $ (11.6)

$\ y (t) =Kx (t) $ (11.6)

Con volumen $x$, entrada de flujo $u$ y ganancia de controlador $K$. Por lo tanto, en términos de la Eq. (11.1), $f (t, x (t), u (t); p)\ equiv -Kx (t) + u (t) $ y $g (t, x (t), u (t); p)\ equiv Kx (t) $.

Para dos tanques de peces controlados por volumen en serie con volumen V<sub1/sub y VSub2/sub, y ganancia del controlador KSub1/sub y KSub2/sub, respectivamente, se pueden formular dos balanzas de masa, es decir,

$\ frac {dv_1 (t)} {dt} =-K_1V_1 (t) +u (t) $ (11,7)

$\ frac {dv_2 (t)} {dt} =K_1V_1 (t) -K_2V_2 (t) $ (11,7)

En forma de matriz vectorial, y para el flujo de salida físico y (t), podemos escribir:

$\ frac {d} {dt}\ begin {bmatrix} V_1 (t)\ V_2 (t)\ end {bmatrix} =\ begin {bmatrix} -K_1 & 0\ K_1 & -K_2\ end {bmatrix}\ begin {bmatrix} V_1 (t)\ V_2 (t)\ end {bmatrix} + comienzo bmatrix} 1\ 0\ end {bmatrix} u (t) $ (11.8)

$y (t) =K_2V_2 (t) $ (11.8)

Y así, con $x_1=v_1, x_2=v_2:f (t, x (t), u (t); p)\ equiv\ begin {bmatrix} -k_1x_1 (t) +u (t)\ K_1x_1 (t) -k_2x_2 (t)\ end {bmatrix} $ y $g (t, (t), u (t); p)\ equiv K_2x_2 (t) $.

En las siguientes secciones, cada uno de los subsistemas del sistema AP (Fig. 11.1) se describirá con más detalle.